Question

【题目】已知函数（为常数）.

（1）若在处的切线与直线垂直，求的值；

（2）若，讨论函数的单调性；

（3）若为正整数，函数恰好有两个零点，求的值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）见解析；（3）.

【解析】

（1）由题意得出，即可求出实数的值；

（2）由，可得出，对与的大小关系进行分类讨论，分析导数的符号，可得出函数的单调增区间和减区间；

（3）分、和三种情况讨论，结合（2）中函数的单调性以及零点存在定理来判断出函数的零点个数，可得出整数的值.

（1）由题意，，则，

由于函数的图象在处的切线与直线垂直，

则，所以，因此，；

（2），则.

①若时，，

当或时，，时，，

所以在和单调递增，在单调递减，

②若时，，对，恒成立，在单调递增；

③若时，，

当或时，，时，，

所以在和单调递增，在单调递减；

（3）因为为正整数，

若，则，，

由（2）知在和单调递增，在单调递减，

又，所以在区间内仅有实根，，

又，所以在区间内仅有实根.

此时，在区间内恰有实根；

若，在单调递增，至多有实根.

若，，

令，则，，，

所以.

由（2）知在单调递减，在和单调递增，

所以，所以在至多有实根.

综上，.