Question

如图，在斜三棱柱ABC－A₁B₁C₁中，侧面AA₁B₁B⊥底面ABC，侧棱AA₁与底面ABC成60⁰的角，AA₁=2．底面ABC是边长为2的正三角形，其重心为G点．E是线段BC₁上一点，且BE=BC₁．

(1)求证：GE∥侧面AA₁B₁B；

(2)求平面B₁GE与底面ABC所成锐二面角的大小

Answer 1

答案：
解析：

解法1：(1)延长B1E交BC于F，　∵ΔB1EC∽ΔFEB，BE＝EC1 ∴BF＝B1C1＝BC，从而F为BC的中点． ∵G为ΔABC的重心，∴A、G、F三点共线，且＝＝，∴GE∥AB1， 又GE侧面AA1B1B，∴GE∥侧面AA1B1B (2)在侧面AA1B1B内，过B1作B1H⊥AB，垂足为H，∵侧面AA1B1B⊥底面ABC，∴B1H⊥底面ABC．又侧棱AA1与底面ABC成60°的角，AA1=2， ∴∠B1BH＝60°，BH＝1，B1H＝． 在底面ABC内，过H作HT⊥AF，垂足为T，连B1T．由三垂线定理有， 又平面B1GE与底面ABC的交线为AF，∴∠B1TH为所求二面角的平面角． ∴AH＝AB＋BH＝3，∠HAT＝30°，　∴HT＝AHsin30°＝， 在RTΔB1HT中，tan∠B1TH＝＝， 从而平面B1GE与底面ABC所成锐二面角的大小为arctan 解法2：(1)∵侧面AA1B1B⊥底面ABC，侧棱AA1与底面ABC成60°的角， ∴∠A1AB＝60°，又AA1=AB=2，取AB的中点Ｏ，则AＯ⊥底面ABC． 以O为原点建立空间直角坐标系O－xyz如图， 则A(0，－1，0)，B(0，1，0)，C(，0，0)， A1(0，0，)B1(0，2，)，C1(，1，)． ∵G为ΔABC的重心，∴G(，0，0)，　　∵＝ ∴E(，1，)∴＝(0，1，)＝， 又GE侧面AA1B1B，　∴GE∥侧面AA1B1B (2)设平面B1GE的法向量为， 则由及得； ． 可取． 又底面ABC的法向量为， 设平面B1GE与底面ABC所成锐二面角的大小为， 则cos＝＝，∴＝arccos.