Question

设数列{a_n}，{b_n}满足a₁=b₁=6，a₂=b₂=4，a₃=b₃=3，若{a_n+1-a_n}是等差数列，{b_n+1-b_n}是等比数列．
（1）分别求出数列{a_n}，{b_n}的通项公式；
（2）求数列{a_n}中最小项及最小项的值．

Answer 1

分析：（1）利用已知，可求出{a_n+1-a_n}的首项与公差，{b_n+1-b_n}的首项与公比，代入等差和等比数列的通项公式，即可求出a_n+1-a_n与b_n+1-b_n的表达式，再利用叠加法转化为等差或等比数列求和，从而求出a_n与b_n；
（2）利用配方法求a_n的最小值．

解答：解：（1）a₂-a₁=-2，a₃-a₂=-1由{a_n+1-a_n}成等差数列知其公差为1，故a_n+1-a_n=-2+（n-1）•1=n-3；
b₂-b₁=-2，b₃-b₂=-1，
由{b_n+1-b_n}等比数列知，其公比为

1

2

，故bn+1-bn=-2•(

1

2

)n-1，（6分）
a_n=（a_n-a_n-1）+（a_n-1-a_n-2）+（a_n-2-a_n-3）+…+（a₂-a₁）+a₁
=(n-1)•(-2)+

(n-1)(n-2)

2

•1+6=

n2-3n+2

2

-2n+8=

n2-7n+18

2

，（8分）
b_n=（b_n-b_n-1）+（b_n-1-b_n-2）+（b_n-2-b_n-3）+…+（b₂-b₁）+b₁=

-2[1-( 1 2 )n-1]

1- 1 2

+6=2+2^3-n．
（2）∵a_n=

n2-7n+18

2

=

1

2

（n-

7

2

）²+

23

8

，
∴n=3或n=4时，a_n取到最小值，a₃=a₄=3．

点评：本题主要考查了二次函数求最值，等差和等比数列的通项公式等知识，同时考查了分析，推理的能力及运算能力，解题过程中充分运用了叠加法．