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精英家教网如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,AB⊥侧面BB1C1C,E为棱CC1上异于C、C1的一点,EA⊥EB1,已知AB=
2
,BB1=2,BC=1,∠BCC1=
π
3
,求:
(Ⅰ)异面直线AB与EB1的距离;
(Ⅱ)二面角A-EB1-A1的平面角的正切值.
分析:(1)先证明BE是异面直线AB与EB1的公垂线,再利用平面几何知识结合方程思想及解三角形的方法求出BE的长即可;
(2)过E作EG∥B1A1再证明∠AEG是二面角A-EB1-A1的平面角,利用平行证得∠AEG=∠BAE,只要求出tan∠BAE即得.
解答:精英家教网解:(Ⅰ)因AB⊥面BB1C1C,故AB⊥BE.
又EB1⊥EA,且EA在面BCC1B1内的射影为EB.
由三垂线定理的逆定理知EB1⊥BE,因此BE是异面直线AB与EB1的公垂线,
在平行四边形BCC1B1中,设EB=x,则EB1=
4-x2

作BD⊥CC1,交CC1于D,则BD=BC•sin
π
3
=
3
2

在△BEB1中,由面积关系得
1
2
x
4-x2
=
1
2
•2•
3
2
,即(x2-1)(x2-3)=0.
解得x=±1,x=±
3
(负根舍去)
当x=
3
时,在△BCE中,CE2+12-2CE•cos
π
3
=3,
解之得CE=2,故此时E与C1重合,由题意舍去x=
3

因此x=1,即异面直线AB与EB1的距离为1.
(Ⅱ)过E作EG∥B1A1,则GE⊥面BCC1B,故GE⊥EB1且GE在圆A1B1E内,
又已知AE⊥EB1
故∠AEG是二面角A-EB1-A1的平面角.
因EG∥B1A1∥BA,∠AEG=∠BAE,故tanAEG=
BE
AB
=
1
2
=
2
2
点评:本题主要考查了二面角及其度量,以及点、线、面间的距离计算,考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力,属于基础题.
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