Question

10．过双曲线C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的右焦点F作一条渐近线l的平行线交双曲线C于A，再以A为圆心，2a为半径作圆A，若圆A与l相交，则双曲线C的离心率e范围为（1，$\sqrt{5}$）．

Answer 1

分析 求得渐近线方程，可得与渐近线平行的直线方程，代入双曲线方程，求得A的坐标，再由直线和圆相交的条件：d＜r，运用点到直线的距离公式，化简整理，可得b＜2a，再由离心率公式计算即可得到所求范围．

解答 解：设渐近线l：y=$\frac{b}{a}$x，
则过右焦点F（c，0）的直线且与l平行的直线为y=$\frac{b}{a}$（x-c），
代入双曲线C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0），
可得x=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}}{2c}$，y=$\frac{b（{a}^{2}-{c}^{2}）}{2ac}$，
即为A（$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}}{2c}$，$\frac{b（{a}^{2}-{c}^{2}）}{2ac}$），
由直线l与圆A相交，可得
$\frac{|\frac{b（{a}^{2}+{c}^{2}）}{2c}-\frac{b（{a}^{2}-{c}^{2}）}{2c}|}{\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}}$＜2a，
化简可得2ac＞bc，
即为2a＞b，即4a²＞b²，
即5a²＞a²+b²=c²，
即有e²＜5，即e＜$\sqrt{5}$，
由e＞1，可得1＜e＜$\sqrt{5}$．
故答案为：（1，$\sqrt{5}$）．

点评 本题考查双曲线的方程和性质，主要考查渐近线方程的运用和离心率的求法，考查直线和圆相交的性质，属于中档题．