题目内容

已知点A(4,-3),B(2,-1)和直线l:4x+3y-2=0,求一点P使|PA|=|PB|,且点P到l的距离等于2.
点P(1,-4)或P(,-)为所求的点
为使|PA|=|PB|(如图),点P必在线段AB的垂直平分线上,又点P到直线l的距离为2,所以点P又在距离l为2且平行于l的直线上,求这两条直线的交点即得所求点P.设点P的坐标为P(a,b).

∵ A(4,-3),B(2,-1).∴ AB的中点M的坐标为(3,-2).又AB的斜率kAB=-1.∴ AB的垂直平分线方程为y+2=x-3,即x-y-5=0.
而P(a,b)在直线x-y-5=0上.∴ a-b-5=0①.
又已知点P到l的距离为2,∴ 点P必在与l平行且距离为2的直线上,设直线方程为4x+3y+m=0,由两条平行直线之间的距离公式,得=2,
∴ m=8或-12.∴ 点P在直线4x+3y+8=0或4x+3y-12=0上.∴ 4a+3b+8=0或4a+3b-12=0 ②.由①②得a=1,b=-4或a=,b=-.
∴ 点P(1,-4)或P(,-)为所求的点
练习册系列答案
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