题目内容
【题目】已知函数在点
处的切线与直线
垂直.
(1)若函数在区间
上存在极值,求实数
的取值范围;
(2)求证:当时,
.
【答案】(1);(2)证明见解析.
【解析】试题分析:(1)根据导数的几何意义求出在
处的切线斜率,求得
的值,求出
的极值点,列出参数
的不等式组,即可求得实数
的取值范围;(2)当
时,
,整理得
,可设
,
,证明
的最小值大于
的最大值.
试题解析:(1)因为,所以
,得
,所以
,
得,得
,
(
).
当时,
,
为增函数;当
时,
,
为减函数,
所以函数仅当
时,取得极值.
又函数在区间
上存在极值,所以
,所以
,
故实数的取值范围为
.
(2)当时,
,即为
,令
,
则,
再令,则
,
又因为,所以
,所以
在
上是增函数,
又因为,
所以当时,
,所以
在区间
上是曾函数,
所以当时,
,故
.
令,则
.
因为,所以
.
当时,
,
故函数在区间
上是减函数,
又,所以当
时,
,即得
,即
.
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