题目内容

已知两定点E(-2,0),F(2,0),动点P满足,由点P向x轴作垂线段PQ,垂足为Q,点M满足,点M的轨迹为C.
(1)求曲线C的方程
(2)过点D(0,-2)作直线与曲线C交于A、B两点,点N满足
(O为原点),求四边形OANB面积的最大值,并求此时的直线的方程.
(1) (2) 直线的方程为

试题分析:解(1)动点P满足,点P的轨迹是以E F为直径的圆,动点P的轨迹方程为.设M(x,y)是曲线C上任一点,因为PMx轴,点P的坐标为(x,2y), 点P在圆上,  ,
曲线C的方程是 .
(2)因为,所以四边形OANB为平行四边形,
当直线的斜率不存在时显然不符合题意;
当直线的斜率存在时,设直线的方程为y=kx-2,与椭圆交于两点,由
,由,得,即


     10分


,解得,满足,
,(当且仅当时“=”成立)
平行四边形OANB面积的最大值为2.
所求直线的方程为
点评:主要是考查了运用代数的方法来通过向量的数量积的公式,以及联立方程组,结合韦达定理来求解,属于中档题。
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