Question

设函数f(x)＝－ax²，a∈R.
(1)当a＝2时，求函数f(x)的零点；
(2)当a>0时，求证：函数f(x)在(0，＋∞)内有且仅有一个零点；
(3)若函数f(x)有四个不同的零点，求a的取值范围．

Answer 1

（1）0，x＝，x＝，x＝（2）见解析（3）(1，＋∞)

(1)解：当x≥0时，由f(x)＝0，得－2x²＝0，即x(2x²＋4x－1)＝0，解得x＝0或x＝ (舍负)；
当x<0时，由f(x)＝0，得－2x²＝0，
即x(2x²＋4x＋1)＝0(x≠－2)，解得x＝.
综上所述，函数f(x)的零点为0，x＝，x＝，x＝.
(2)证明：当a>0且x>0时，由f(x)＝0，得－ax²＝0，即ax²＋2ax－1＝0.
记g(x)＝ax²＋2ax－1，则函数g(x)的图象是开口向上的抛物线．
又g(0)＝－1<0，所以函数g(x)在(0，＋∞)内有且仅有一个零点，
即函数f(x)在区间(0，＋∞)内有且仅有一个零点．
(3)解：易知0是函数f(x)的零点．
对于x>0，由(2)知，当a>0时，函数f(x)在区间(0，＋∞)内有且仅有一个零点；
当a≤0时，g(x)＝ax²＋2ax－1<0恒成立，因此函数f(x)在区间(0，＋∞)内无零点．
于是，要使函数f(x)有四个不同的零点，函数f(x)在区间(－∞，0)内就要有两个不同的零点．
当x<0时，由f(x)＝0，得－ax²＝0，即ax²＋2ax＋1＝0(x≠－2)．①
因为a＝0不符合题意，所以①式可化为x²＋2x＋＝0(x≠－2)，即x²＋2x＝－＝0.
作出函数h(x)＝x²＋2x(x<0)的图象便知－1<－<0，得a>1，
综上所述，a的取值范围是(1，＋∞)．