Question

（2012•北海一模）若

C

1 n

=

C

5 n

，则(x-

1

x

)n+3的展开式中x³的系数是

-84

．

Answer 1

分析：先根据

C

1 n

=

C

5 n

，求出n，利用二项展开式的通项公式求出通项，令通项中x的指数为3，求出展开式中x3项的系数．

解答：解：由C_n⁵=C_n¹并且结合组合数的公式

C

m n

=

n!

m!•(n-m)!

可得：

n!

5!(n-5)!

=

n!

1!(n-1)!

，
整理可得：5×4×3×2=（n-1）（n-2）（n-3）（n-4）
所以解得：n-1=5⇒n=6．
(x-

1

x

)n+3的展开式的通项为
Tr+1=

C

r 9

(x)9-r(-

1

x

)r═C₉^r（x）^9-2r（-1）^r，
令9-2r=3⇒r=3，
x³的系数为C₉³（-1）³=-84．
故答案为：-84．

点评：本题主要考查组合数公式以及二项式定理的应用，解决此类问题的关键是熟练记忆组合数公式，并且对学生的运算技巧也有较高的要求．