题目内容
（2012•北海一模）如图，在120°二面角α-l-β内半径为1的圆O1与半径为2的圆O2分别在半平面α、β内，且与棱l切于同一点P，则以圆O1与圆O2为截面的球的表面积为（ ）分析：设球心为O，连接O1P，O2P，则O，O1，O2，P四点共圆，且OP为所在圆的直径，也为球的半径．在三角形O1PO2中，由余弦定理得出O1O2=
，再由正弦定理求出OP．利用球表面积公式计算．
| 7 |
解答：解：设球心为O，连接O1P，O2P，则O，O1，O2，P四点共圆，且OP为球的半径．
根据球的截面圆的性质，OO1⊥α，OO2⊥β．
可知∠O1PO2为二面角α-l-β的平面角，∠O1PO2=120°，
从而，∠O1OO2=60°，在三角形O1PO2中，由余弦定理得出O1O2=
，再由正弦定理得出
OP=
=
=
．
球的表面积S=4πR2=4π×(
)2=
．
故选C．
根据球的截面圆的性质，OO1⊥α，OO2⊥β．
可知∠O1PO2为二面角α-l-β的平面角，∠O1PO2=120°，
从而，∠O1OO2=60°，在三角形O1PO2中，由余弦定理得出O1O2=
| 7 |
OP=
| O1O2 |
| sin∠O1OO2 |
| ||||
|
2
| ||
| 3 |
球的表面积S=4πR2=4π×(
2
| ||
| 3 |
| 112π |
| 3 |
故选C．
点评：本题考查与二面角有关的立体几何综合题，考查运算求解能力，推理论证能力；考查化归与转化思想．综合性强，难度大，有一定的探索性，对数学思维能力要求较高，是高考的重点．（选项C应该改为：
．）
| 112π |
| 3 |
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