Question

若关于x的方程a^x+2x-4=0（a＞0且a≠1）的所有根记作x₁，x₂，…，x_m（m∈N^*），关于x的方程log_a^2x+x-2=0的所有根记作x₁′，x₂′，…，x_n′（n∈N^*），则

x1+x2+…+xm+ x ′ 1 + x ′ 2 +…+ x ′ n

m+n

的值为（　　）

• A、

  1

  4

• B、

  1

  2

• C、1
• D、2

Answer 1

分析：本题可以用特殊值法解答，我们令a=2，根据方程根的个数等于对应函数零点的个数，我们易用图象法求出满足条件的x₁，x₂，…，x_m及m的值与x₁′，x₂′，…，x_n′与n的值，代入则

x1+x2+…+xm+ x ′ 1 + x ′ 2 +…+ x ′ n

m+n

即可得到结果．

解答：解：令a=2，
则y=a^x为增函数，y=-2x+4为减函数，

由图可得两个函数的画像只有一个交点（1，2）点
则方程a^x+2x-4=0有且只有一个实根1，即x₁=1，m=1
又由y=log_a^2x=log_a^x+1也为增函数，y=-x+2也为减函数

由图可得两个函数的画像只有一个交点（1，1）点
则方程a^x+2x-4=0有且只有一个实根1，即x₁′=1，n=1
此时

x1+x2+…+xm+ x ′ 1 + x ′ 2 +…+ x ′ n

m+n

=

1+1

1+1

=1
故选：C

点评：本题考查的知识点是根的存在性及根的个数判断，对于选择题我们可采用特殊值代法简化我们的解题过程．