Question

12．已知集合A={y|y=x²-2x，x∈R}，B={y|y=-x²+2x+6，x∈R}．
（1）A∩B=[-1，7]．
（2）若集合A变为A={x|y=x²-2x，x∈R}，其他条件不变，求A∩B．
（3）若集合A、B中元素都为整数，求A∩B．

Answer 1

分析 （1）通过求集合A，B中两函数的值域，从而得到A=[-1，+∞），B=（-∞，7]，然后进行交集的运算即可得出A∩B；
（2）集合A={x|y=x²-2x，x∈R}的元素为x，且x∈R，从而此时A=R，从而得出A∩B=B；
（3）根据（1）求得的A∩B=[-1，7]，以及A，B的元素都是整数，这样从区间[-1，7]上找出所有的整数，便可得出A∩B的元素，从而写出A∩B．

解答 解：（1）y=x²-2x=（x-1）²-1≥-1；
∴A=[-1，∞）；
y=-x²+2x+6=-（x-1）²+7≤7；
∴B=（-∞，7]；
∴A∩B=[-1，7]；
故答案为：[-1，7]．
（2）此时A=R；
∴A∩B=（-∞，7]；
（3）由（1）知，A∩B=[-1，7]，且A，B中元素都为整数；
∴此时A∩B={-1，0，1，2，3，4，5，6，7}．

点评 考查描述法、列举法表示集合，二次函数的值域及定义域，以及交集的运算．