Question

已知对任意的平面向量，把

AB

绕其起点沿逆时针方向旋转θ角，得到向量

AP

=(xcosθ-ysinθ，xsinθ+ycosθ)，叫做把点B绕点A逆时针方向旋转θ角得到点P
①已知平面内的点A（1，2），B(1+

2

，2-2

2

)，把点B绕点A沿逆时针方向旋转

7π

4

后得到点P，求点P的坐标
②设平面内曲线C上的每一点绕逆时针方向旋转

π

4

后得到的点的轨迹是曲线x²-y²=1，求原来曲线C的方程．

Answer 1

分析：①设P（x，y），则

AP

=(x-1，y-2)，

AB

=(

2

，-2

2

)，根据把点B绕点A沿逆时针方向旋转

7π

4

后得到点P，
可得将

AB

绕点A沿逆时针方向旋转

7π

4

后得到

AP

，由此可得

AP

的坐标，从而可求点P的坐标
②利用旋转变换确定旋转前后，坐标之间的关系，利用已知曲线的方程，我们可以求出原来曲线C的方程．

解答：解：①设P（x，y），则

AP

=(x-1，y-2)，

AB

=(

2

，-2

2

)…（2分）
将

AB

绕点A沿逆时针方向旋转

7π

4

后得到

AP

，
所以

AP

=(

2

cos

7π

4

+2

2

sin

7π

4

，

2

sin

7π

4

-2

2

cos

7π

4

)=（-1，-3）…（6分）
∴

x-1=-1 y-2=-3

，解得x=0，y=-1 …（7分）
∴点P的坐标为（0，-1）
②设平面内曲线C上的任一点Q（x，y），

OQ

绕O逆时针方向旋转

π

4

后得到的点Q′（x′，y′），则

x′=xcos π 4 -ysin π 4 y′=xsin π 4 +ycos π 4

…（10分）
即

x′= 2 (x-y) 2 y′= 2 (+y) 2

…（11分）
又x′²-y′²=1 …（12分）
∴

1

2

(x-y)2-

1

2

(x+y)2=1…（13分）
化简得：y=-

1

2x

…（14分）

点评：本题考查新定义，考查旋转变换，利用旋转变换公式是我们解题的关键．