题目内容
定义运算a*b=
，设函数f（x）=（2x+1）*（x+1），且关于x的方程f（x）=m恰有三个互不相等的实数根x1，x2，x3，则x1x2x3的取值范围是
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(0，
)
| 9 |
| 4 |
(0，
)
．| 9 |
| 4 |
分析：先由新定义得出函数f（x）的解析式，进而画出其图象并求出方程f（x）=m取得三个根的条件，最后再求出x1x2x3的取值范围即可．
解答：解：由定义可知：f（x）=
，画出图象如图所示：
∵当x≤0时，f（x）=(x+
)2-2≥-2；当x＞0时，f（x）=-(x+
)2+
＜0．
∴当-2＜m＜0时，关于x的方程f（x）=m恰有三个互不相等的实数根x1，x2，x3，
不妨设x1＜x2＜x3，则x1，x2是方程x2+3x+
=m的两个根，x3是方程-x2-x=m的正根．
∴x1x2=
-m，x3=
．
∴x1x2x3=
（-2＜m＜0）．
令
=t，即1-4m=t2．又∵-2＜m＜0，∴1＜t＜3．
φ（t）=
，
则φ′(t)=
=
，
∵1＜t＜3，∴φ′（t）＞0，∴函数φ（t）在区间（1，3）上单调递增，∴φ（1）＜φ（t）＜φ（3），即0＜φ（t）＜
．
∴x1x2x3的取值范围是(0，
)．
故答案为(0，
)．
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∵当x≤0时，f（x）=(x+
| 3 |
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| 1 |
| 2 |
| 1 |
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∴当-2＜m＜0时，关于x的方程f（x）=m恰有三个互不相等的实数根x1，x2，x3，
不妨设x1＜x2＜x3，则x1，x2是方程x2+3x+
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∴x1x2=
| 1 |
| 4 |
| ||
| 2 |
∴x1x2x3=
(1-4m)(
| ||
| 8 |
令
| 1-4m |
φ（t）=
| t2(t-1) |
| 8 |
则φ′(t)=
| 3t2-2t |
| 8 |
3t(t-
| ||
| 8 |
∵1＜t＜3，∴φ′（t）＞0，∴函数φ（t）在区间（1，3）上单调递增，∴φ（1）＜φ（t）＜φ（3），即0＜φ（t）＜
| 9 |
| 4 |
∴x1x2x3的取值范围是(0，
| 9 |
| 4 |
故答案为(0，
| 9 |
| 4 |
点评：本题考查的是新定义、方程的根的存在性及根的个数，由新定义正确得出函数的解析式并画出图象，进而求出方程f（x）=m取得三个根的条件是解题的关键．
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