Question

已知Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=4，BC=2，D，E分别是AB，AC的中点，将△ADE沿着DE翻折成△A₁DE，使得平面A₁DE⊥平面DECB，F是A₁B上一点且A₁E∥平面FDC．
（1）求．
（2）求三棱锥D-A₁CF的体积．
（3）求A₁B与平面FDC所成角的大小．

Answer 1

【答案】分析：（1）连接EB交DC于O，连接FO，由线面平行的性质定理可得A₁E∥FO，由三角形中位定理及相似三角形的性质可得
（2）由面面垂直的性质定理可得A₁D⊥平面DECB，代入棱锥体积公式可得三棱锥D-A₁CF的体积．
（3）以为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz．分别求出平面FDC的法向量和直线A₁B的方向向量，代入向量坐标公式，可得答案．
解答：解：（1）连接EB交DC于O，连接FO．．…（3分）
D，E分别是AB，AC的中点．
所以在△BA₁E中，．…（5分）

（2）．=．…（10分）

（3）A₁D⊥平面DECB．又DE⊥DB．
以为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz．
则D（0，0，0），A₁（0，0，2），B（0，2，0），C（2，2，0）．…（7分）
设F（x，y，z）．因为．
所以，即，
所以．．设平面FDC的法向量．
则，令z=1，则．又．
设A₁B与平面FDC所成角的大小为θ，则．
因为，所以A₁B与平面FDC所成角的大小．…（15分）
点评：本题考查的知识点是直线与平面所成的角，直线与平面平行的性质定理，三棱锥的体积，其中建立空间坐标系，将空间直线与平面的夹角转化为向量夹角是解答的关键．