Question

5．设数列{a_n}的前n项和为S_n，满足（1-q）S_n+qⁿ=1，且q（q-1）≠0．
（1）求{a_n}的通项公式；
（2）若S₃、S₉、S₆成等差数列，求证：a₂、a₈、a₅成等差数列．

Answer 1

分析 （1）求出a₁=1．利用当n≥2时，由S_n-S_n-1=a_n，利用q（q-1）≠0，说明{a_n}是以1为首项，q为公比的等比数列，求出通项公式；
（2）求出S_n=$\frac{1-{a}_{n}q}{1-q}$，由S₃+S₆=2S₉，得到a₂+a₅=2a₈．说明a₂，a₈，a₅成等差数列．

解答 解：（1）当n=1时，由（1-q）S₁+q=1，
可得a₁=1．
当n≥2时，由（1-q）S_n+qⁿ=1，
得（1-q）S_n-1+q^n-1=1
两式相减得a_n=q^n-1，对n=1也成立．
故a_n=q^n-1．
（2）证明：由（1）可知S_n=$\frac{1-{a}_{n}q}{1-q}$，
又S₃、S₉、S₆成等差数列，可得S₃+S₆=2S₉，
得$\frac{1-{a}_{3}q}{1-q}$+$\frac{1-{a}_{6}q}{1-q}$=$\frac{2（1-{a}_{9}q）}{1-q}$，
化简得a₃+a₆=2a₉，
两边同除以q得a₂+a₅=2a₈．
故a₂，a₈，a₅成等差数列．

点评 本题考查等差数列以及等比数列的综合应用，数列求和以及通项公式的求法，考查分析问题解决问题的能力．