Question

【题目】已知抛物线C：x2=2y的焦点为F，过抛物线上一点M作抛物线C的切线l，l交y轴于点N．
（1）判断△MFN的形状；
（2）若A，B两点在抛物线C上，点D（1，1）满足 + = ，若抛物线C上存在异于A，B的点E，使得经过A，B，E三点的圆与抛物线在点E处的有相同的切线，求点E的坐标．

Answer 1

【答案】
（1）

解：由题意可知：抛物线C：x2=2y的焦点F（0， ），

设M（x1， ），由y= ，y′=x，

则切线l的方程y﹣ =x1（x﹣x1），则y=x1x﹣ ，

∴N（0， ），丨MF丨= + ，丨NF丨= + ，

丨MF丨=丨NF丨，

（2）

解：设A（x2， ），由 + = ，

∴D（1，1）是AB的中点，B（2﹣x2，2﹣ ），

由B在抛物线C上，则（2﹣x2）2=2（2﹣ ），

解得：x2=0，x2=2，

∴A，B两点的坐标为（0，0），（2，2），

设E（x0， ），（x0≠0，x0≠2），

AB的中垂线方程y=﹣x+2，①AE的中垂线方程y=﹣ x+1+ ，②

由

由①②解得：圆心M（﹣ ， ），

由kMEx0=﹣1，整理得：x02﹣x0﹣2=0，

解得：x0=﹣1或x0=2，由x0≠0，x0≠2，

∴x0=﹣1，

∴E点坐标为（﹣1， ）．

【解析】（1）利用导数求得切线方程，当x=0，求得N点坐标，根据抛物线的焦半径公式，即可求得丨MF丨=丨NF丨，则△MFN为等腰三角形；（2）根据向量的坐标运算，求得B点坐标，分别求得AE及AB的中垂线方程，即可求得△ABE外接圆的圆心，由kMEx0=﹣1，即可求得点E的坐标．