Question

设函数f（x）=ax²+bx+c（a，b，c∈R）．
（Ⅰ） 已知f（0）=1，
  （ⅰ）若f（x）＜0的解集为(

1

2

，1)，求f（x）的表达式；
  （ⅱ）若f（1）=0，且a＜1，试用含a的代数式表示b，并求此时f（x）＞0的解集．
（Ⅱ） 已知a=1，若x₁，x₂是方程f（x）=0的两个根，且x₁，x₂∈（m，m+1），其中m∈R，求f（m）f（m+1）的最大值．

Answer 1

分析：（Ⅰ） 通过f（0）=1，求出c，得到含有a、b的函数解析式．
（ⅰ）通过f（x）＜0的解集为(

1

2

，1)，说明方程的根，推出a，b的方程组，求出a/b，得到f（x）的表达式；
（ⅱ）利用f（1）=0，且a＜1，可得a的代数式表示b，然后通过f（x）＞0求出解集．
（Ⅱ） 通过a=1，x₁，x₂是方程f（x）=0的两个根，且x₁，x₂∈（m，m+1），化简f（m）f（m+1）的表达式，利用基本不等式直接求解表达式的最大值．

解答：解：（Ⅰ）由f（0）=1，得c=1，所以f（x）=ax²+bx+1．…（1分）
（ⅰ）由f（x）＜0的解集为(

1

2

，1)，可知

1

2

和1是方程ax²+bx+1=0的两根，
所以

1 2 +1=- b a 1 2 ×1= 1 a .

…（3分）
解得a=2，b=-3，所以f（x）=2x²-3x+1．…（4分）
（ⅱ）由f（1）=0，得a+b+1=0，即b=-a-1，…（5分）
所以f（x）=ax²-（a+1）x+1．
当a=0时，f（x）=-x+1，得f（x）＞0的解集为（-∞，1）；…（6分）
当a＞0时，f（x）=ax²-（a+1）x+1=(ax-1)(x-1)=a(x-

1

a

)(x-1)．
由a＜1，所以当0＜a＜1时，

1

a

＞1，
此时f（x）＞0的解集为(-∞，1)∪(

1

a

，+∞)．…（8分）
当a＜0时，f（x）＞0的解集为(

1

a

，1)．…（10分）
综上：当a=0时，解集为（-∞，1）；
当0＜a＜1时，解集为(-∞，1)∪(

1

a

，+∞)；
当a＜0时，f（x）＞0的解集为(

1

a

，1)．
（Ⅱ）不妨设f（x）=（x-x₁）（x-x₂），x₁，x₂∈（m，m+1），
由m-x₁＜0，m-x₂＜0，m+1-x₁＞0，m+1-x₂＞0，
所以 f（m）•f（m+1）=（m-x₁）（m-x₂）（m+1-x₁）（m+1-x₂）
=[（x₁-m）（m+1-x₁）][（x₂-m）（m+1-x₂）]
≤(

x1-m+m+1-x1

2

)2(

x2-m+m+1-x2

2

)2=

1

16

，
当且仅当x₁=x₂=m+

1

2

时取等号，
∴f（m）f（m+1）的最大值为

1

16

．…（14分）

点评：本题考查函数的解析式的求法，函数的零点以及基本不等式的应用，函数的最值的求法，考查分析问题与解答问题的能力．