Question

（2012•日照一模）已知定义在R上奇函数f（x）满足①对任意x，都有f（x+3）=f（x）成立；②当x∈[0，

3

2

]时f(x)=

3

2

-|

3

2

-2x|，则f(x)=

1

|x|

在[-4，4]上根的个数是（　　）

A．4

B．5

C．6

D．7

Answer 1

分析：由题意可得奇函数f（x）是周期等于3的周期函数，则f(x)=

1

|x|

在[-4，4]上根的个数，就是函数f（x） 与函数 y=

1

|x|

的交点的个数，结合图象得出结论．

解答：解：∵f（x+3）=f（x）成立，∴奇函数f（x）是周期等于3的周期函数．
当 0≤x≤

3

2

时，f（x）=

2x ，  0 ≤x＜ 3 4 3-2x  ，   3 4 ＜x≤3

．
则f(x)=

1

|x|

在[-4，4]上根的个数就是函数f（x） 与函数 y=

1

|x|

的交点的个数，如图所示：
故选B．

点评：本题主要考查方程的根的存在性及个数判断，函数的奇偶性与周期性的应用，抽象函数的应用，体现了化归与转化的数学思想，属于中档题．