Question

（2012•日照一模）已知f（x）=

m

•

n

，其中

.

m

=(sinωx+cosωx，

3

cosωx)，

.

n

=(cosωx-sinωx，2sinωx)（ω＞0）．若f（x）图象中相邻的两条对称轴间的距离不小于π．
（I）求ω的取值范围；
（II）在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，a=

7

，S_△ABC=

3

2

，当ω取最大值时，f（A）=1，求b，c的值．

Answer 1

分析：（I）由两向量的坐标，利用平面向量的数量积运算法则列出f（x）的解析式，利用二倍角的正弦、余弦函数公式化简，再利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，由f（x）图象中相邻的对称轴间的距离不小于π，得到周期的一半大于等于π，即可求出ω的范围；
（II）由ω的范围，找出ω的最大值，代入确定出f（x）解析式，由f（A）=1，求出sin（A+

π

6

）的值，由A为三角形的内角，得出A+

π

6

的范围，利用特殊角的三角函数值求出A的度数，进而确定出sinA与cosA的值，由已知的面积，利用三角形面积公式列出关系式，记作①；再由a与cosA的值，利用余弦定理列出关系式，记作②，联立①②即可求出b与c的值．

解答：解：（I）∵

m

=（sinωx+cosωx，

3

cosωx），

n

=（cosωx-sinωx，2sinωx），
∴f（x）=

m

•

n

=（sinωx+cosωx）（cosωx-sinωx）+2

3

cosωxsinωx
=cos2ωx+

3

sin2ωx=2sin（2ωx+

π

6

），
∵f（x）图象中相邻的对称轴间的距离不小于π，
∴

T

2

≥π，即

2π

4ω

≥π，
则0＜ω≤

1

2

；
（Ⅱ）当ω=

1

2

时，f（x）=2sin（x+

π

6

），
∴f（A）=2sin（A+

π

6

）=1，
∴sin（A+

π

6

）=

1

2

，
∵0＜A＜π，∴

π

6

＜A+

π

6

＜

7π

6

，
∴A=

2π

3

，
由S_△ABC=

1

2

bcsinA=

3

2

，得到bc=2，…①
又a²=b²+c²-2bcsinA，a=

7

，
∴b²+c²+bc=7，…②
联立①②，
解得：b=1，c=2或b=2，c=1．

点评：此题考查了余弦定理，平面向量的数量积运算，二倍角的正弦、余弦函数公式，三角形的面积公式，以及三角函数的周期性及其求法，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．