Question

已知圆O：x²+y²=4，A（-1，0），B（1，0），直线l与圆O切于点S（l不垂直于x轴），抛物线过A、B两点且以l为准线，以F为焦点．
（1）当点S在圆周上运动时，求证：|FA|+|FB|为定值，并求出点F的轨迹C方程；
（2）曲线C上有两个动点M，N，中点D在直线y=l上，若直线l′经过点D，且在l′上任取一点P（不同于D点），都存在实数λ，使得

DP

=λ(

MP

| MP |

+

NP

| NP |

)，证明：直线l′必过定点，并求出该定点的坐标．

Answer 1

分析：（1）分别作AA₁⊥l于A₁，BB₁⊥l于B₁，OO₁⊥l于O₁，根据抛物线的定义|FA|+|FB|=|AA₁|+|BB₁|=2|OO₁|=4，由此能求出曲线C的方程．
（2）由

DP

=λ(

MP

| MP |

+

NP

| NP |

，知MN⊥l′，令MN：y=kx+m，

y=kx+m 3x2+4y2=12

，整理，得（4k²+3）x²+8kmx+4m²-12=0，再由韦达定理能证明：直线l′必过定点，并能求出该定点的坐标．

解答：解：（1）分别作AA₁⊥l于A₁，BB₁⊥l于B₁，OO₁⊥l于O₁，
根据抛物线的定义|FA|+|FB|=|AA₁|+|BB₁|=2|OO₁|=4，
∴2a=4，c=1，
曲线C：

x2

4

+

y2

3

=1，(y≠0)．
（2）∵

DP

=λ(

MP

| MP |

+

NP

| NP |

，
∴MN⊥l′，
令MN：y=kx+m，

y=kx+m 3x2+4y2=12

，
整理，得（4k²+3）x²+8kmx+4m²-12=0，
∴x1+x2=

-8km

4k2+3

，

1

2

(y1+y2)=

-4km

4k2+3

+m=1，
4k²+3=3m，
则l′：y-1=-

1

k

(x+

4km

4k2+3

)，
∴y=-

1

k

x-

1

3

，恒过（0，-

1

3

）．

点评：本题考查椭圆方程的求法，证明直线l′必过定点，并求该定点的坐标．解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化．