题目内容
【题目】已知椭圆的左、右焦点分别为
,
是椭圆上一动点(与左、右顶点不重合)已知
的内切圆半径的最大值为
,椭圆的离心率为
.
(1)求椭圆C的方程;
(2)过的直线
交椭圆
于
两点,过
作
轴的垂线交椭圆
与另一点
(
不与
重合).设
的外心为
,求证
为定值.
【答案】(1)(2)见解析
【解析】
(1)当面积最大时,
最大,即
点位于椭圆短轴顶点时
,即可得到
的值,再利用离心率求得
,即可得答案;
(2)由题意知,直线的斜率存在,且不为0,设直线
为
,代入椭圆方程得
.设
,利用弦长公式求得
,利用
的垂直平分线方程求得
的坐标,两个都用
表示,代入
中,即可得答案.
(1)由题意知:,∴
,∴
.
设的内切圆半径为
,
则,
故当面积最大时,
最大,即
点位于椭圆短轴顶点时
,
所以,把
代入,解得:
,
所以椭圆方程为.
(2)由题意知,直线的斜率存在,且不为0,设直线
为
,
代入椭圆方程得.
设,则
,
所以的中点坐标为
,
所以.
因为是
的外心,所以
是线段
的垂直平分线与线段
的垂直平分线的交点,
的垂直平分线方程为
,
令,得
,即
,所以
所以,所以
为定值,定值为4.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
【题目】某家庭记录了未使用节水龙头50天的日用水量数据(单位:m3)和使用了节水龙头50天的日用水量数据,得到频数分布表如下:
未使用节水龙头50天的日用水量频数分布表
日用 水量 | |||||||
频数 | 1 | 3 | 2 | 4 | 9 | 26 | 5 |
使用了节水龙头50天的日用水量频数分布表
日用 水量 | ||||||
频数 | 1 | 5 | 13 | 10 | 16 | 5 |
(1)在答题卡上作出使用了节水龙头50天的日用水量数据的频率分布直方图:
(2)估计该家庭使用节水龙头后,日用水量小于0.35 m3的概率;
(3)估计该家庭使用节水龙头后,一年能节省多少水?(一年按365天计算,同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表.)
【题目】微信运动,是由腾讯开发的一个类似计步数据库的公众账号.用户可以通过关注微信运动公众号查看自己每天行走的步数,同时也可以和其他用户进行运动量的或点赞.微信运动公众号为了解用户的一些情况,在微信运动用户中随机抽取了100名用户,统计了他们某一天的步数,数据整理如下:
| ||||||
| 5 | 20 | 50 | 15 | 5 | 5 |
(1)根据表中数据,在如图所示的坐标平面中作出其频率分布直方图,并在纵轴上标明各小长方形的高;
(2)若视频率分布为概率分布,在微信运动用户中随机抽取3人,求至少2人步数多于1.2万步的概率;
(3)若视频率分布为概率分布,在微信运动用户中随机抽取2人,其中每日走路不超过0.8万步的有人,超过1.2万步的有
人,设
,求
的分布列及数学期望.