题目内容
【题目】在如图所示的四棱锥中,四边形
是等腰梯形,
,
,
平面
,
,
.
(1)求证:平面
;
(2)已知二面角的余弦值为
,求直线
与平面
所成角的正弦值.
【答案】(1)证明见解析;(2).
【解析】
(1)由已知可得,结合
,由直线与平面垂直的判定可得
平面
;
(2)由(1)知,,则
,
,
两两互相垂直,以
为坐标原点,分别以
,
,
所在直线为
,
,
轴建立空间直角坐标系,设
,0,
,由二面角
的余弦值为
求解
,再由空间向量求解直线
与平面
所成角的正弦值.
(1)证明:因为四边形是等腰梯形,
,
,所以
.又
,所以
,
因此,
,
又,
且,
,
平面
,
所以平面
.
(2)取的中点
,连接
,
,
由于,因此
,
又平面
,
平面
,所以
.
由于,
,
平面
,
所以平面
,故
,
所以为二面角
的平面角.在等腰三角形
中,由于
,
因此,又
,
因为,所以
,所以
以为
轴、
为
轴、
为
轴建立空间直角坐标系,则
,
,
,
,
设平面的法向量为
所以,即
,令
,则
,
,
则平面的法向量
,
,
设直线与平面
所成角为
,则
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
练习册系列答案
相关题目
【题目】近年来,某市为了促进生活垃圾的分类处理,将生活垃圾分为厨余垃圾、可回收物和其他垃圾三类,并分别设置了相应的垃圾箱.为调查居民生活垃圾分类投放情况,现随机抽取了该市三类垃圾箱中总计1000吨生活垃圾,数据统计如下(单位:吨):
“厨余垃圾”箱 | “可回收物”箱 | “其他垃圾”箱 | |
厨余垃圾 | 400 | 100 | 100 |
可回收物 | 30 | 240 | 30 |
其他垃圾 | 20 | 20 | 60 |
(Ⅰ)试估计厨余垃圾投放正确的概率
(Ⅱ)试估计生活垃圾投放错误的概率
(Ⅲ)假设厨余垃圾在“厨余垃圾”箱、“可回收物”箱、“其他垃圾”箱的投放量分别为a,b,c,其中a>0,a+b+c=600.当数据a,b,c,的方差最大时,写出a,b,c的值(结论不要求证明),并求此时
的值.
(注:,其中
为数据
的平均数)