题目内容

(2010•河东区一模)如果椭圆的焦距、短轴长、长轴长成等差数列,则椭圆的离心率为(  )
分析:设出椭圆的标准方程,由题意结合等差中项的定义建立关于a、b、c的等式,结合b2=a2-c2消去b得到关于a、c的二次方程,解之可得c、a的比值,即得此椭圆的离心率.
解答:解:设椭圆的方程为
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)

∵椭圆的焦距、短轴长、长轴长成等差数列,
∴2×2b=2c+2a,可得b=
1
2
(a+c)
∵b2=a2-c2
∴[
1
2
(a+c)]2=a2-c2,化简得5c2+2ac-3a2=0
等式两边都除以a2,得5e2+2e-3=0,解之得e=
3
5
(-1舍去)
即椭圆的离心率为
3
5

故选:C
点评:本题给出椭圆的焦距、短轴长、长轴长成等差数列,求椭圆的离心率.着重考查了等差中项的概念和椭圆的定义与标准方程等知识,属于基础题.
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