题目内容
（2012•上海）海事救援船对一艘失事船进行定位：以失事船的当前位置为原点，以正北方向为y轴正方向建立平面直角坐标系（以1海里为单位长度），则救援船恰好在失事船正南方向12海里A处，如图，现假设：①失事船的移动路径可视为抛物线y=
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②定位后救援船即刻沿直线匀速前往救援；
③救援船出发t小时后，失事船所在位置的横坐标为7t
（1）当t=0.5时，写出失事船所在位置P的纵坐标，若此时两船恰好会合，求救援船速度的大小和方向．
（2）问救援船的时速至少是多少海里才能追上失事船？
分析：（1）t=0.5时，确定P的横坐标，代入抛物线方程y=
x2中，可得P的纵坐标，利用|AP|=
，即可确定救援船速度的大小和方向；
（2）设救援船的时速为v海里，经过t小时追上失事船，此时位置为（7t，12t2），从而可得vt=
，整理得v2=144(t2+
)+337，利用基本不等式，即可得到结论．
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| 49 |
| ||
| 2 |
（2）设救援船的时速为v海里，经过t小时追上失事船，此时位置为（7t，12t2），从而可得vt=
| (7t)2+(12t2+12)2 |
| 1 |
| t2 |
解答：解：（1）t=0.5时，P的横坐标xP=7t=
，代入抛物线方程y=
x2中，得P的纵坐标yP=3．…2分
由|AP|=
，得救援船速度的大小为
海里/时．…4分
由tan∠OAP=
，得∠OAP=arctan
，故救援船速度的方向为北偏东arctan
弧度．…6分
（2）设救援船的时速为v海里，经过t小时追上失事船，此时位置为（7t，12t2）．
由vt=
，整理得v2=144(t2+
)+337．…10分
因为t2+
≥ 2，当且仅当t=1时等号成立，所以v2≥144×2+337=252，即v≥25．
因此，救援船的时速至少是25海里才能追上失事船．…14分
| 7 |
| 2 |
| 12 |
| 49 |
由|AP|=
| ||
| 2 |
| 949 |
由tan∠OAP=
| 7 |
| 30 |
| 7 |
| 30 |
| 7 |
| 30 |
（2）设救援船的时速为v海里，经过t小时追上失事船，此时位置为（7t，12t2）．
由vt=
| (7t)2+(12t2+12)2 |
| 1 |
| t2 |
因为t2+
| 1 |
| t2 |
因此，救援船的时速至少是25海里才能追上失事船．…14分
点评：本题主要考查函数模型的选择与运用．选择恰当的函数模型是解决此类问题的关键，属于中档题．
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