已知函数f上有定义.当且仅当0<x<1时f(x)<0.且对任意x.y∈＝f.试证明:为奇函数,上单调递减．题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

已知函数f(x)在(－1,1)上有定义，当且仅当0<x<1时f(x)<0，且对任意x、y∈(－1,1)都有f(x)＋f(y)＝f，试证明：
(1)f(x)为奇函数；
(2)f(x)在(－1,1)上单调递减．

证明：(1)由f(x)＋f(y)＝f，令x＝y＝0，得f(0)＝0，
令y＝－x，得f(x)＋f(－x)＝f＝f(0)＝0.
∴f(x)＝－f(－x)，即f(x)为奇函数．
(2)先证f(x)在(0,1)上单调递减．
令0<x₁<x₂<1，
则f(x₂)－f(x₁)＝f(x₂)＋f(－x₁)
＝f，
∵0<x₁<x₂<1，∴x₂－x₁>0,1－x₁x₂>0，
∴>0，
又∵(x₂－x₁)－(1－x₂x₁)＝(x₂－1)(x₁＋1)<0，
∴x₂－x₁<1－x₂x₁，
∴0<<1，由题意知f<0，
即f(x₂)<f(x₁)．
∴f(x)在(0,1)上为减函数，又f(x)为奇函数且f(0)＝0，
∴f(x)在(－1,1)上为减函数．

解析

练习册系列答案

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（本小题满分14分）
已知函数，．
（Ⅰ）当时，求函数的最小值；
（Ⅱ）当时，讨论函数的单调性；
（Ⅲ）求证：当时，对任意的，且，有．

若函数f(x)对定义域中任意x均满足f(x)＋f(2a－x)＝2b，则称函数y＝f(x)的图象关于点(a，b)对称．
(1)已知函数f(x)＝的图象关于点(0,1)对称，求实数m的值；
(2)已知函数g(x)在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的图象关于点(0,1)对称，且当x∈(0，＋∞)时，g(x)＝x²＋ax＋1，求函数g(x)在(－∞，0)上的解析式；
(3)在(1)(2)的条件下，当t＞0时，若对任意实数x∈(－∞，0)，恒有g(x)＜f(t)成立，求实数a的取值范围．

已知二次函数f(x)＝ax²＋bx＋c，(a<0)不等式f(x)>－2x的解集为(1,3)．
(1)若方程f(x)＋6a＝0有两个相等的实根，求f(x)的解析式；
(2)若f(x)的最大值为正数，求实数a的取值范围．

设函数
（Ⅰ）若函数在处取得极小值是，求的值;
（Ⅱ）求函数的单调递增区间;
（Ⅲ）若函数在上有且只有一个极值点, 求实数的取值范围.