Question

已知函数f(x)在(－1,1)上有定义，当且仅当0<x<1时f(x)<0，且对任意x、y∈(－1,1)都有f(x)＋f(y)＝f，试证明：
(1)f(x)为奇函数；
(2)f(x)在(－1,1)上单调递减．

Answer 1

证明：(1)由f(x)＋f(y)＝f，令x＝y＝0，得f(0)＝0，
令y＝－x，得f(x)＋f(－x)＝f＝f(0)＝0.
∴f(x)＝－f(－x)，即f(x)为奇函数．
(2)先证f(x)在(0,1)上单调递减．
令0<x₁<x₂<1，
则f(x₂)－f(x₁)＝f(x₂)＋f(－x₁)
＝f，
∵0<x₁<x₂<1，∴x₂－x₁>0,1－x₁x₂>0，
∴>0，
又∵(x₂－x₁)－(1－x₂x₁)＝(x₂－1)(x₁＋1)<0，
∴x₂－x₁<1－x₂x₁，
∴0<<1，由题意知f<0，
即f(x₂)<f(x₁)．
∴f(x)在(0,1)上为减函数，又f(x)为奇函数且f(0)＝0，
∴f(x)在(－1,1)上为减函数．

解析