题目内容
（2013•惠州模拟）已知点（1，
）是函数f（x）=ax（a＞0，且a≠1）的图象上一点，等比数列{an}的前n项和为f（n）-c，数列{bn}（bn＞0）的首项为c，且前n项和Sn满足：Sn-Sn-1=
+
（n≥2）．
（1）求数列{an}和{bn}的通项公式；
（2）若数列{cn}的通项cn=bn•(
)n，求数列{cn}的前n项和Rn；
（3）若数列{
}前n项和为Tn，问Tn＞
的最小正整数n是多少？
| 1 |
| 3 |
| Sn |
| Sn-1 |
（1）求数列{an}和{bn}的通项公式；
（2）若数列{cn}的通项cn=bn•(
| 1 |
| 3 |
（3）若数列{
| 1 |
| bnbn+1 |
| 1000 |
| 2009 |
分析：（1）由点（1，
）是函数f（x）=ax（a＞0，且a≠1）的图象上一点，求出函数解析式，根据等比数列{an}的前n项和为f（n）-c，依次求出a1，a2，a3，然后由a22=a1a3求出c，则首项和公比可求，所以通项公式可求，再由数列{bn}（bn＞0）的首项为c，且前n项和Sn满足：Sn-Sn-1=
+
（n≥2）．展开等式左边约分后可得数列{
}为首项为1公差为1的等差数列，求出Sn后，由bn=Sn-Sn-1（n≥2）求数列{bn}的通项公式；
（2）把数列{bn}的通项公式代入数列{cn}的通项cn=bn•(
)n，然后运用错位相减法求数列{cn}的前n项和；
（3）运用裂项相消法求出数列{
}前n项和为Tn，代入Tn＞
进行求解．
| 1 |
| 3 |
| Sn |
| Sn-1 |
| Sn |
（2）把数列{bn}的通项公式代入数列{cn}的通项cn=bn•(
| 1 |
| 3 |
（3）运用裂项相消法求出数列{
| 1 |
| bnbn+1 |
| 1000 |
| 2009 |
解答：解：（1）因为点（1，
）是函数f（x）=ax（a＞0，且a≠1）的图象上一点，
所以f(1)=a=
，所以，f(x)=(
)x．
因为等比数列{an}的前n项和为f（n）-c，
所以a1=f(1)-c=
-c，
a2=[f（2）-c]-[f（1）-c]=(
)2-c-
+c=-
，
a3=[f（3）-c]-[f（2）-c]=(
)3-c-(
)2+c=-
．
又数列{an}成等比数列，所以，a1=
=
=-
=
-c，所以c=1．
所以
-1=-
．
又公比q=
=
=
所以an=-
(
)n-1=-2(
)n．
由数列{bn}的前n项和满足Sn-Sn-1=
+
（n≥2）．
则(
-
)(
+
)=
+
（n≥2），
又bn＞0，
＞0，所以
-
=1．
所以，数列{
}构成一个首项为1公差为1的等差数列，
则
=1+(n-1)×1=n，所以Sn=n2．
当n≥2时，bn=Sn-Sn-1=n2-(n-1)2=2n-1，
满足b1=c=1．
所以，bn=2n-1(n∈N*)；
（2）由cn=bn(
)n=(2n-1)(
)n，
所以Rn=c1+c2+c3+…+cn=1×(
)1+3×(
)2+5×(
)3+…+(2n-1)×(
)n①
两边同时乘以
得：
Rn=1×(
)2+3×(
)3+5×(
)4+…+(2n-3)×(
)n+(2n-1)×(
)n+1②
①式减②式得：
Rn=
+2[(
)2+(
)3+(
)4+…+(
)n]-(2n-1)×(
)n+1
化简得：
Rn=
+2×
-(2n-1)×(
)n+1=
-
×(
)n
所以Rn=1-
．
（3）Tn=
+
+
+…+
=
+
+
+…+
=
(1-
)+
(
-
)+
(
-
)+…+
(
-
)
=
(1-
)=
；
由Tn=
＞
，得n＞
，所以，满足Tn＞
的最小正整数为112．
| 1 |
| 3 |
所以f(1)=a=
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 3 |
因为等比数列{an}的前n项和为f（n）-c，
所以a1=f(1)-c=
| 1 |
| 3 |
a2=[f（2）-c]-[f（1）-c]=(
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 3 |
| 2 |
| 9 |
a3=[f（3）-c]-[f（2）-c]=(
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 3 |
| 2 |
| 27 |
又数列{an}成等比数列，所以，a1=
| a22 |
| a3 |
| ||
-
|
| 2 |
| 3 |
| 1 |
| 3 |
所以
| 1 |
| 3 |
| 2 |
| 3 |
又公比q=
| a3 |
| a2 |
-
| ||
-
|
| 1 |
| 3 |
所以an=-
| 2 |
| 3 |
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 3 |
由数列{bn}的前n项和满足Sn-Sn-1=
| Sn |
| Sn-1 |
则(
| Sn |
| Sn-1 |
| Sn |
| Sn-1 |
| Sn |
| Sn-1 |
又bn＞0，
| Sn |
| Sn |
| Sn-1 |
所以，数列{
| Sn |
则
| Sn |
当n≥2时，bn=Sn-Sn-1=n2-(n-1)2=2n-1，
满足b1=c=1．
所以，bn=2n-1(n∈N*)；
（2）由cn=bn(
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 3 |
所以Rn=c1+c2+c3+…+cn=1×(
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 3 |
两边同时乘以
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 3 |
①式减②式得：
| 2 |
| 3 |
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 3 |
化简得：
| 2 |
| 3 |
| 1 |
| 3 |
(
| ||||
1-
|
| 1 |
| 3 |
| 2 |
| 3 |
| 2(n+1) |
| 3 |
| 1 |
| 3 |
所以Rn=1-
| n+1 |
| 3n |
（3）Tn=
| 1 |
| b1b2 |
| 1 |
| b2b3 |
| 1 |
| b3b4 |
| 1 |
| bnbn+1 |
=
| 1 |
| 1×3 |
| 1 |
| 3×5 |
| 1 |
| 5×7 |
| 1 |
| (2n-1)(2n+1) |
=
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 5 |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 5 |
| 1 |
| 7 |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2n-1 |
| 1 |
| 2n+1 |
=
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2n+1 |
| n |
| 2n+1 |
由Tn=
| n |
| 2n+1 |
| 1000 |
| 2009 |
| 1000 |
| 9 |
| 1000 |
| 2009 |
点评：本题考查了等差和等比数列的通项公式，考查了错位相减法和裂项相消法求数列的前n项的和，比较综合考查了学生分析问题和解决问题的能力，考查了学生的计算能力，特别是（1）中求解两个数列的通项公式，需要有一定的灵活变化技巧，此题属于难题．
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