题目内容

在长方体ABCD-A1B1C1D中,AB=3,BC=AA1=4,E,F分别为AB、BB1的中点.
(1)求三棱锥A1-AB1D1的体积;
(2)求异面直线EF与BC1所成角的余弦值.
分析:(1)三棱锥A1-AB1D1中,由SA1B1D1=
1
2
×3×4
=6,AA1⊥平面A1B1D1,且AA1=4,能求出三棱锥A1-AB1D1的体积.
(2)由E,F分别为AB、BB1的中点,知EF∥DC1,从而得到∠BC1D异面直线EF与BC1所成角(或所成角的补角),由此能求出异面直线EF与BC1所成角的余弦值.
解答:解:(1)三棱锥A1-AB1D1中,
SA1B1D1=
1
2
×3×4
=6,
AA1⊥平面A1B1D1,且AA1=4,
∴三棱锥A1-AB1D1的体积
V=
1
3
×SA1B1D1×AA1 
=
1
3
×6×4
=8.
(2)∵E,F分别为AB、BB1的中点,
∴EF∥DC1
∴∠BC1D异面直线EF与BC1所成角(或所成角的补角),
连接BD,∵长方体ABCD-A1B1C1D中,AB=3,BC=AA1=4,
BC1=4
2
,DC1=5,BD=5,
∴cos∠BC1D=
(4
2
)2+52-52
2×4
2
×5
=
2
2
5

故异面直线EF与BC1所成角的余弦值为
2
2
5
点评:本题考查三棱锥的体积的求法,考查异面直线所成角的余弦值的求法,解题时要认真审题,注意等价转化思想的合理运用.
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