题目内容
已知方程x2+y2-2x-4y+m=0.
(1)若此方程表示圆,求实数m的取值范围;
(2)若(1)中的圆与直线x+2y-4=0相交于M,N两点,且坐标原点O在以MN为直径的圆的外部,求实数m的取值范围.
(1)若此方程表示圆,求实数m的取值范围;
(2)若(1)中的圆与直线x+2y-4=0相交于M,N两点,且坐标原点O在以MN为直径的圆的外部,求实数m的取值范围.
考点:圆的一般方程
专题:直线与圆
分析:(1)利用圆的一般方程的性质,即可求实数m的取值范围.
(2)直线方程代入圆的方程,利用韦达定理及向量知识,即可求得实数m的值.
(2)直线方程代入圆的方程,利用韦达定理及向量知识,即可求得实数m的值.
解答:
解:(1)∵程x2+y2-2x-4y+m=0表示圆,
∴△=(-2)2+(-4)2-4m>0,
解得m<5,
∴实数m的取值范围是(-∞,5).
(2)直线x+2y-4=0代入圆的方程,消去x可得:5y2-16y+8+m=0
∵△>0,∴m<
,
设M(x1,y1),N(x2,y2),则y1+y2=
,y1y2=
,
∴x1x2=(4-2y1)(4-2y2)=16-8(y1+y2)+4y1y2=
,
∵坐标原点O在以MN为径的圆的外部,
∴
•
>0,
∴x1x2+y1y2>0,
∴
+
>0
解得m>
.
∴△=(-2)2+(-4)2-4m>0,
解得m<5,
∴实数m的取值范围是(-∞,5).
(2)直线x+2y-4=0代入圆的方程,消去x可得:5y2-16y+8+m=0
∵△>0,∴m<
24 |
5 |
设M(x1,y1),N(x2,y2),则y1+y2=
16 |
5 |
8+m |
5 |
∴x1x2=(4-2y1)(4-2y2)=16-8(y1+y2)+4y1y2=
-16+4m |
5 |
∵坐标原点O在以MN为径的圆的外部,
∴
OM |
ON |
∴x1x2+y1y2>0,
∴
-16+4m |
5 |
8+m |
5 |
解得m>
8 |
5 |
点评:本题考查圆的方程,考查直线与圆的位置关系,考查向量知识的运用,考查学生的计算能力,属于中档题.
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