Question

【题目】设函数（为常数， 为自然对数的底数）．

（1）当时，求函数的单调区间；

（2）若函数在内存在三个极值点，求实数的取值范围．

Answer 1

【答案】(1) 的单调递减区间为，单调递增区间为（2）.

【解析】试题分析：（1）第（1）问，直接求导，再求函数的单调区间. (2)第（2）问，对k进行分类讨论，求出每一种情况下函数的单调性，再分析函数在内存在三个极值点的条件从而得到实数k的取值范围.

试题解析：

(1) 函数的定义域为..

由可得，所以当时， ；当时， .

故的单调递减区间为，单调递增区间为

（2）由（1）知，当时，函数在内单调递减，在内单调递增，故在内仅存在一个极值点；

当时，令， ，依题函数与函数， 的图象有两个横坐标不等于2的交点.

，当时， ，则在上单调递减，

当时， ，则在上单调递增；

而

所以当即时，存在使得，

且当时，当 ，当时，当时，此时存在极小值点和极大值点；

同理，当即时，存在使得，此时存在极小值点和极大值点.

综上，函数在内存在三个极值点时，实数的取值范围为.