Question

在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AD=1，AA₁=AB=2，点E是AB中点，点M为D₁C的中点．
（I）证明：直线ME∥平面ADD₁A₁；
（II）求二面角A-D₁E-C的大小．

Answer 1

分析：（Ⅰ）当E为AB的中点时，ME∥平面ADD₁A₁．取DD₁的中点N，连接MN、AN、ME，证明 ME∥AN，即可证明ME∥平面AD₁．
（Ⅱ）当E为AB的中点时，结合二面角A-D₁E-C的大小为二面角A-D₁E-D与二面角D-D₁E-C大小的和，只需求二面角A-D₁E-D的大小即可；过A点作AF⊥DE交DE于F，过F作FH⊥D₁E于H，连接AH，则∠AHF即为二面角A-D₁E-D的平面角，通过AH•D₁E=AE•AD₁然后求出sin∠AHF，即可求出二面角A-D₁E-C的大小．

解答：证明：（Ⅰ）当E为AB的中点时，ME∥平面ADD₁A₁．
证明：取DD₁的中点N，连接MN、AN、ME，
MN∥

1

2

CD，AE∥

1

2

CD，
∴四边形MNAE为平行四边形，可知 ME∥AN
∵AN在平面AD₁内
∴ME∥平面AD₁．
（Ⅱ）当E为AB的中点时，DE=

2

，CE=

2

，又CD=2，
可知∠DEC=90°，所以DE⊥CE，平面CED₁⊥平面DD₁E，
所以二面角D-D₁E-C的大小为

π

2

；
又二面角A-D₁E-C的大小为二面角A-D₁E-D与二面角D-D₁E-C大小的和，
只需求二面角A-D₁E-D的大小即可；
过A点作AF⊥DE交DE于F，则AF⊥平面DD₁E，AF=

2

2

，
过F作FH⊥D₁E于H，连接AH，
则∠AHF即为二面角A-D₁E-D的平面角，
在Rt△AED₁中，又AH•D₁E=AE•AD₁，
∴AH=

AE•AD1

ED1

=

1× 5

22+( 2 )2

=

5

6

=

30

6

，
∴sin∠AHF=

AF

AH

=

2 2

30 6

=

15

5

，
所以二面角A-D₁E-C的大小为

π

2

+arcsin

15

5

．

点评：本题考查直线与平面平行，二面角的求法，考查转化思想，空间想象能力，计算能力．