题目内容
【题目】在棱长为
的透明密闭的正方形容器
中，装有容器总体积一半的水（不计容器壁的厚度），将该正方体容器绕
旋转，并始终保持所在直线与水平平面平行，则在旋转过程中容器中水的水面面积的最大值为__________．
【答案】
【解析】
设点
在
上，点
在
上，满足
，则原问题等价于求解四边形
的最大值.建立空间直角坐标系，结合二次函数的性质可得旋转过程中容器中水的水面面积的最大值.
如图所示，在棱长为
的正方体
中，
点在上，点在上，满足，
则原问题等价于求解四边形的最大值.
作
于点
，当
最大时，四边形有最大值.
建立如图所示的空间直角坐标系，
设
，设
，
由于
，由
可得：
，则：
，故
,
故：
，
由
可得：
.
故：
，
结合二次函数的性质可知：当
或
时，
取得最大值，此时
取得最大值，最大值为：
.
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