Question

（Ⅰ）已知矩阵M=

2 3 - 1 3 1 3 1 3

，△ABC的顶点为A（0，0），B（2，0），C（1，2），求△ABC在矩阵M^-1的变换作用下所得△A′B′C′的面积．
（Ⅱ）极坐标的极点是直角坐标系原点，极轴为X轴正半轴，直线l的参数方程为

x=x0+ 1 2 t y= 3 2 t

．
（t为参数）．⊙O的极坐标方程为ρ=2，若直线l与⊙O相切，求实数x₀的值．
（Ⅲ）已知a，b，c∈R⁺，且

1

a

+

2

b

+

3

c

=2，求a+2b+3c的最小值及取得最小值时a，b，c的值．

Answer 1

分析：（1）由M•M^-1=E，可得M^-1，求出变换作用下的A′，B′，C′的坐标，利用余弦公式求出三角形一个角，得∠A是直角，由面积公式求出面积．
（2）利用已知条件，求出在直角坐标系中直线1与⊙0的方程，发现其分别为直线和圆，根据相切原理，知圆心O（0，0）到直线L的距离为2，又根据求距离公式，即可求出x₀．
（3）根据柯西不等式，即可解答．

解答：解：（1）由M•M^-1=E，可得M-1 =

.

1 1 -1 2

.

，（3分）

.

1 1 -1 2

.

.

0 0

.

=

.

0 0

.

，

.

1 1 -1 2

.

.

2 0

.

=

.

2 -2

.

，

.

1 1 -1 2

.

.

1 2

.

=

.

3 3

.

，
∴变换作用下得A’（0，0），B‘（2，-2），C’（3，3），（5分）
cos∠B′A′C′=

AB • AC

| AB |•| AC |

故

AB

⊥

AC

.S△A′B′C′=

1

2

|

AB

|•|

AC

|=6，（7分）
（2）解：直线L的普通方程为y=

3

(x-x0)，（2分）
⊙0的直角坐标方程为x²+y²=4．（4分）
∵直线L与⊙0相切
∴圆心O（0，0）到直线L：

3

x-y-

3

x0=0的距离为2．
即

| 3x0 |

2

=2，解得x0=±

4 3

3

．（7分）
（3）解：由柯西不等式得
(

1

a

+

2

b

+

3

c

)(a+2b+3c)=[(

1 a

)2+(

2 b

)2+(

3 c

)2][(

a

)2+(

2b

)2+(

3c

)2]≥(

1 a

•

a

+

2 b

•

2b

+

3 c

3c

=36)2=36．（5分）
又

1

a

+

2

b

+

3

c

=2，∴a+2b+3c≥18．当且仅当

1 a

a

=

2 b

2b

3 c

3c

，
即a=b=c=3时等式成立．
∴当a=b=c=3时，a+2b+3c取得最小值18．（7分）

点评：本题主要考查矩阵、逆矩阵、矩阵与变换等基础知识，考查运算求解能力．