Question

已知矩阵M=

2  1 4  2

，向量

β

=

.

1   7

.

．
（1）求矩阵M的特征向量；
（2）计算M⁵⁰

β

．

Answer 1

（1）矩阵M的特征多项式为f(λ)=

.

λ-2 -1 -4 λ-2

.

=(λ-2)2-4=0，…（3分）
所以λ₁=0，λ₂=4，设对应的特征向量为α₁=

x1 y1

，α₂=

x2 y2

．
由Mα₁=λ₁α₁，Mα₂=λ₂α₂，可得2x₁+y₁=0，2x₂-y₂=0，
所以矩阵M的一个特征向量为α₁=

1 -2

，α₂=

1 2

．…（7分）
（2）令β=mα₁+nα₂，则

1 7

=m

1 -2

+n

1 2

，解得m=-

5

4

，n=

9

4

，…（9分）
所以M⁵⁰β=M⁵⁰(-

5

4

α1+

9

4

α2)
=-

5

4

(M50α1)+

9

4

(M50α2)
=-

5

4

(λ150α1)+

9

4

(λ250α2)
=

9

4

•450

1 2

=

450• 9 4 450• 9 2

．      …（14分）