题目内容

设非空集合S={x|m≤x≤n}满足:当x∈S时,有x2∈S.给出如下三个命题:①若m=1,则S={1};②若m=-
1
2
,则
1
4
≤n≤1;③若n=
1
2
,则-
2
2
≤m≤0.其中正确命题的个数是(  )
A、0B、1C、2D、3
分析:根据题中条件:“当x∈S时,有x2∈S”对三个命题一一进行验证即可:对于①m=1,得
n2≤n
n≥1
,②m=-
1
2
,则
n2≤n
1
4
≥1
对于③若n=
1
2
,则
1
2
≥m
1
2
m2
,最后解出不等式,根据解出的结果与四个命题的结论对照,即可得出正确结果有几个.
解答:解:由定义设非空集合S={x|m≤x≤n}满足:当x∈S时,有x2∈S知,符合定义的参数m的值一定大于等于1或小于等于0,惟如此才能保证m∈S时,有m2∈S即m2≥m,符合条件的n的值一定大于等于0,小于等于1,惟如此才能保证n∈S时,有n2∈S即n2≤n,正对各个命题进行判断:
对于①m=1,m2=1∈S故必有
n2≤n
n≥1
可得n=1,S={1},
②m=-
1
2
,m2=
1
4
∈S则
n2≤n
1
4
≤n
解之可得
1
4
≤n≤1;
对于③若n=
1
2
,则
1
2
≥m
m2≥m
1
2
m2
解之可得-
2
2
≤m≤0,
所以正确命题有3个.
故选D
点评:本小题考查集合的运算及不等式和不等式组的解法.属于创新题,解答的关键是对新定义的概念的正确理解,列出不等关系转化为不等式问题解决.
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