Question

设非空集合S={x|m≤x≤l}满足：当x∈S时，有x²∈S．则下列三个命题中：
①若m=1，则S={1}；
②若m=-

1

2

，则

1

4

≤l≤1；
③若l=

1

2

，则-

2

2

≤m≤0．
正确命题是

①②③

．

Answer 1

分析：根据题中条件：“当x∈S时，有x²∈S”对三个命题一一进行验证即可：对于①m=1，则

l2≤l 1 4 ≤l

；②若m=-

1

2

，m²=

1

4

∈S，则

l2≤l 1 4 ≤l

；对于③若l=

1

2

，S={x|m≤x≤

1

2

}，则

1 2 ≥m m2≥m 1 2 ≥m2

，最后解出不等式，根据解出的结果与四个命题的结论对照，即可得出正确结果有几个．

解答：解：由定义设非空集合S={x|m≤x≤l}满足：当x∈S时，有x²∈S知，符合定义的参数m的值一定大于等于1或小于等于0，惟如此才能保证m∈S时，有m²∈S即m²≥m，符合条件的n的值一定大于等于0，小于等于1，惟如此才能保证l∈S时，有l²∈S即l²≤l，正对各个命题进行判断：
对于①m=1，m²=1∈，S故必有

l2≤l l≥1

，可得l=1，S={1}，即①正确；
②m=-

1

2

，m²=

1

4

∈S，则

l2≤l 1 4 ≤l

，解之可得

1

4

≤l≤1；故②正确；
③若l=

1

2

，则S={x|m≤x≤

1

2

}，则

1 2 ≥m m2≥m 1 2 ≥m2

，解之可得-

2

2

≤m≤0，
故正确的命题有：①②③
故答案为：①②③

点评：本小题考查集合的运算及不等式和不等式组的解法．属于创新题，解答的关键是对新定义的概念的正确理解，列出不等关系转化为不等式问题解决．