Question

16．△ABC中的三个内角分别为A，B，C，己知BC=4，AC=5，C=2A，则AB=6．

Answer 1

分析 由条件利用正弦定理可得$\frac{AB}{sin2A}$=$\frac{4}{sinA}$=$\frac{5}{sin（π-3A）}$，由此求得sinA和cosA的值，进而求得AB的值．

解答 解：△ABC中，∵BC=4，AC=5，C=2A，则由正弦定理可得$\frac{AB}{sin2A}$=$\frac{4}{sinA}$=$\frac{5}{sin（π-3A）}$，
由$\frac{4}{sinA}$=$\frac{5}{sin（π-3A）}$，可得$\frac{4}{sinA}$=$\frac{5}{sin3A}$=$\frac{5}{3sinA-{4sin}^{3}A}$，∴sinA=$\frac{\sqrt{7}}{4}$，∴cosA=$\frac{3}{4}$．
 由$\frac{AB}{sin2A}$=$\frac{4}{sinA}$，可得$\frac{AB}{2sinAcosA}$=$\frac{4}{sinA}$，可得AB=8•cosA=6，
故答案为：6．

点评 本题主要考查三角形内角和公式、三倍角的正弦公式、正弦定理的应用，属于中档题．