题目内容
【题目】已知函数(
,且
).
(1)求函数的极值点;
(2)当时,证明:
.
【答案】(1)当时,函数
的极小值点为
,无极大值点;当
时,函数
的极小值点为
,无极大值点.(2)见解析
【解析】
(1)根据导函数分类讨论函数的单调区间即可得到极值点;
(2)结合(1)得出的单调性可得,构造函数
求出最小值即可得证.
(1)函数的定义域为
.
,
①当时,令
,得
;令
,得
,
故在
上单调递减,在
上单调递增,函数
的极小值点为
.
②当时,令
,得
;令
,得
,
故在
上单调递减,在
上单调递增,函数
的极小值点为
.
所以当时,函数
的极小值点为
,无极大值点;当
时,函数
的极小值点为
,无极大值点.
(2)证明:当时,由(1)得,
在
上单调递减,在
上单调递增,
所以,
所以,
令(
),则
(
),
,
当时,
;当
时,
,
所以(
)在
上单调递减,在
上单调递增,
故,
所以当时,
.
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