题目内容

【题目】已知函数f(x)=ax2+(b﹣8)x﹣a﹣ab,当x∈(﹣3,2)时,f(x)>0,当x∈(﹣∞,﹣3)∪(2,+∞)时,f(x)<0.
(1)求f(x)的解析式;
(2)若不等式ax2+bx+c≤0的解集为R,求c的取值范围;
(3)当x>﹣1时,求y= 的最大值.

【答案】
(1)解:由已知得,方程ax2+(b﹣8)x﹣a﹣ab=0的两个根为﹣3,2,

,即

解得a=﹣3,b=5,

∴f(x)=﹣3x2﹣3x+18


(2)解:由已知得,不等式﹣3x2+5x+c≤0的解集为R,

因为△=52﹣4×(﹣3)×c≤0,

∴c≤﹣ ,即c的取值范围为(﹣∞,﹣ ]


(3)解:y= = =﹣3×(x+ )=﹣3×[(x+1)+ ﹣1],

因为x>﹣1,(x+1)+ ≥2,

当且仅当x+1= ,即x=0时取等号,

∴当x=0时,ymax=﹣3


【解析】(1)由已知中函数f(x)=ax2+(b﹣8)x﹣a﹣ab,当x∈(﹣3,2)时,f(x)>0,当x∈(﹣∞,﹣3)∪(2,+∞)时,f(x)<0,可得f(x)=0的两根为﹣3,2,由韦达定理(根与系数的关系)我们易求出a,b的值,进而得到函数的解析式;(2)由(1)的结论,根据不等式﹣3x2+5x+c≤0的解集为R,可得△≤0,由此构造关于c的不等式,解不等式即可求出c的取值范围;(3)根据(1)的结论,我们易求出y= 的解析式,结合基本不等式,分析出函数的值域,即可得到其最大值.
【考点精析】本题主要考查了二次函数的性质和解一元二次不等式的相关知识点,需要掌握当时,抛物线开口向上,函数在上递减,在上递增;当时,抛物线开口向下,函数在上递增,在上递减;求一元二次不等式解集的步骤:一化:化二次项前的系数为正数;二判:判断对应方程的根;三求:求对应方程的根;四画:画出对应函数的图象;五解集:根据图象写出不等式的解集;规律:当二次项系数为正时,小于取中间,大于取两边才能正确解答此题.

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