Question

已知函数f（x）=e^2x-1-2x．
（I）求函数f（x）的单调区间；
（II）设b∈R，求函数f（x）在区间[b，b+1]上的最小值．

Answer 1

分析：（I）求导函数，利用导数的正负，可得函数的单调区间；
（II）分类讨论，求导数，确定函数的单调性，即可求函数f（x）在区间[b，b+1]上的最小值．

解答：解：（I）因为f′（x）=2e^2x-1-2．（2分）
令f′（x）=0，解得x=

1

2

．（3分）
当x变化时，f（x）与f′（x）的变化情况如下表：

x	(-∞，   1 2 )	1 2	( 1 2 ，  +∞)
f′（x）	-	0	+
f（x）		极小值

（5分）
所以函数f（x）在（-∞，  

1

2

）上单调递减，在(

1

2

，  +∞)上单调递增．（6分）
（II）当b+1≤

1

2

时，
因为函数f（x）在（b，b+1）上单调递减，
所以当x=b+1时，函数f（x）有最小值f（b+1）=e^2b+1-2b-2．（8分）
当b＜

1

2

＜b+1时，
因为函数f（x）在(b，  

1

2

)上单调递减，在(

1

2

，  b+1)上单调递增，
所以当x=

1

2

时，函数f（x）有最小值f(

1

2

)=0．（10分）
当b≥

1

2

时，
因为函数f（x）在（b，b+1）上单调递增，
所以当x=b时，函数f（x）有最小值f（b）=e^2b-1-2b．（12分）
综上，当b≤-

1

2

时，函数f（x）在[b，b+1]上的最小值为f（b+1）=e^2b+1-2b-2；
当-

1

2

＜b＜

1

2

时，函数f（x）在[b，b+1]上的最小值为f(

1

2

)=0；
当b≥

1

2

时，函数f（x）在[b，b+1]上的最小值为f（b）=e^2b-1-2b．（13分）

点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性与最值，考查分类讨论的数学思想，属于中档题．