题目内容

【题目】如图,正方形所在平面,M的中点,二面角的大小为.

1)设l是平面与平面的交线,证明

2)在棱是否存在一点N,使的二面角.若不存在,说明理由:若存在,求.

【答案】1)见解析(2)存在,

【解析】

1)先证明平面,再利用线面平行的性质即得证;

2)易知二面角的平面角,由此建立空间直角坐标系,并求出各点的坐标,设,求出平面的法向量,根据的二面角为,建立方程,解出即可得出结论.

解:(1)证明:∵四边形为正方形,

在平面内,不在平面内,

平面

又平面过直线,且平面平面

2)∵正方形所在平面,

∴易知二面角的平面角即为

A为坐标原点,分别为x轴,y轴,z轴建立如图所示的空间直角坐标系,不妨设正方形的边长为2

,设

易得平面的一个法向量为

设平面的一个法向量为,又

,则可取

,解得

故存在存在一点N,使的二面角,且.

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