题目内容
【题目】已知双曲线
过点
且渐近线为
，则下列结论正确的个数为（ ）
①的实轴长为
；②的离心率为
；
③曲线
经过的一个焦点；④直线
与有两个公共点.
A.
个B.
个C.
个D.
个
【答案】C
【解析】
设双曲线
的方程为
，将点
的坐标代入双曲线的方程，求出
的值，可得出双曲线的方程，然后利用双曲线的几何性质可判断出命题①②③的正误，将直线
的方程与双曲线的方程联立，由
的符号判断出命题④的正误.
由于双曲线的渐近线方程为
，设双曲线的方程为，
将点的坐标代入双曲线的方程得
，
所以，双曲线的方程为
.
对于命题①，双曲线的实轴长为
，命题①正确；
对于命题②，双曲线的离心率为
，命题②正确；
对于命题③，令
，得
，所以，曲线
经过双曲线的右焦点，命题③正确；
对于命题④，联立
，消去
得
，
，
则直线与双曲线只有一个公共点，命题④错误.
因此，真命题的个数为
.
故选：C.
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