Question

18．已知函数f（x）的定义域为R，且满足f（x+2）=-f（x）．
（1）求证：f（x）是周期函数；
（2）若f（x）为奇函数，且当0≤x≤1时，f（x）=$\frac{1}{2}$x，求使f（x）=-$\frac{1}{2}$在[0，2009]上的所有x的个数．

Answer 1

分析 （1）根据函数周期性的定义即可证明f（x）是周期函数；
（2）根据函数的奇偶性和周期性的关系求出函数f（x）在一个周期内的图象，作出函数f（x）和y=-$\frac{1}{2}$的图象，观察两个图象在一个周期内的交点个数即可得到结论．

解答 证明：（1）∵f（x+2）=-f（x）．
∴f（x+4）=-f（x+2）=f（x）．
故函数是周期为4的周期函数．
解：（2）若-1≤x≤0，则0≤-x≤1，
则f（-x）=-$\frac{1}{2}$x，
∵f（x）为奇函数，
∴f（-x）=-$\frac{1}{2}$x=-f（x），
即f（x）=$\frac{1}{2}$x，-1≤x≤0，
即f（x）=$\frac{1}{2}$x，-1≤x≤1，
若1≤x≤3，则-1≤x-2≤1，
∵f（x+2）=-f（x）．
∴f（x）=-f（x-2）．
即当1≤x≤3时，f（x）=-f（x-2）=-$\frac{1}{2}$（x-2）．
作出函数f（x）在一个周期上的图象如图：
若f（x）=-$\frac{1}{2}$，在在一个周期[0，4]内只有一个根x=3，
∵2009=4×502+1，
∴在[0，2009]上共有502个周期，
∴使f（x）=-$\frac{1}{2}$在[0，2009]上的所有x的个数为502．

点评 本题主要考查函数周期性的判断，以及函数交点个数的求解，利用函数奇偶性和周期性的关系，求出函数的解析式，利用数形结合是解决本题的关键．