题目内容
若函数f（x）=（x+a）（bx+2a）（常数a、b∈R）是偶函数，且它的值域为（-∞，4]，求该函数的解析式．
分析：由f（x）=（x+a）（bx+2a）是偶函数，知f（-x）=（-x+a）（-bx+2a）=f（x）=（x+a）（bx+2a），故2ax+abx=0，a=0或2+b=0．由此能求出f（x）的解析式．
解答：解：∵f（x）=（x+a）（bx+2a）是偶函数，
∴f（-x）=（-x+a）（-bx+2a）=f（x）=（x+a）（bx+2a），
∴bx2-2ax-abx+2a2=bx2+2ax+abx+2a2，
∴2ax+abx=0，即ax（2+b）=0恒成立，
∴a=0或2+b=0．
若a=0，则f（x）=bx2，若b＞0，值域是y≥0，b＜0，值域是y≤0，都不是（-∞，4]，
所以a≠0，故b+2=0，
∴b=-2，
所以f（x）=-2x2+2a2，
∵-2x2≤0，
所以值域是f（x）≤2a2，
∴2a2=4，
即f（x）=-2x2+4．
∴f（-x）=（-x+a）（-bx+2a）=f（x）=（x+a）（bx+2a），
∴bx2-2ax-abx+2a2=bx2+2ax+abx+2a2，
∴2ax+abx=0，即ax（2+b）=0恒成立，
∴a=0或2+b=0．
若a=0，则f（x）=bx2，若b＞0，值域是y≥0，b＜0，值域是y≤0，都不是（-∞，4]，
所以a≠0，故b+2=0，
∴b=-2，
所以f（x）=-2x2+2a2，
∵-2x2≤0，
所以值域是f（x）≤2a2，
∴2a2=4，
即f（x）=-2x2+4．
点评：本题考查二次函数的性质和应用，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．
练习册系列答案
寒假创新型自主学习第三学期寒假衔接系列答案
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若函数 f（x）＝a x (a＞0，a≠1 ) 的部分对应值如表：
| x | －2 | 0 |
| f（x） | 0.592 | 1 |
则不等 式f－1（│x│＜0）的解集是 （）
A. {x│－1＜x＜1} B. {x│x＜－1或x＞1}
C. {x│0＜x＜1} D. {x│－1＜x＜0或0＜x＜1}
（x-a）|≤T（T为常数）成立，则称函数f（x）在[a，b]上具有“T级线性逼近”．下列函数中：
；
级线性逼近”的函数的个数为
（x-a）|≤T（T为常数）成立，则称函数f（x）在[a，b]上具有“T级线性逼近”．下列函数中：
；
级线性逼近”的函数的个数为（ ）