题目内容
若函数f(x)对于任意x∈[a,b],恒有|f(x)-f(a)-(x-a)|≤T(T为常数)成立,则称函数f(x)在[a,b]上具有“T级线性逼近”.下列函数中:①f(x)=2x+1;
②f(x)=x2;
③f(x)=;
④f(x)=x3.
则在区间[1,2]上具有“级线性逼近”的函数的个数为( )
A.1
B.2
C.3
D.4
【答案】分析:根据称函数f(x)在[a,b]上具有“T级线性逼近”的定义,判断各个选项中的函数在区间[1,2]上是否满足“级线性逼近”的定义,从而得出结论.
解答:解:f(x)=2x+1在区间[1,2]上,由于|f(x)-f(1)-(x-1)|=|0|≤,故f(x)=2x+1在区间[1,2]上具有“级线性逼近”,故满足条件.
f(x)=x2 在区间[1,2]上,由于|f(x)-f(1)-(x-1)|=|(x-1)(x-2)|=-(x-1)(x-2)≤,
故f(x)=x2在区间[1,2]上具有“级线性逼近”,故满足条件.
f(x)=在区间[1,2]上,由于|f(x)-f(1)-(x-1)|=|+-|=-(+)≤-2=-≤,
故f(x)=2x+1在区间[1,2]上具有“级线性逼近”,故满足条件.
f(x)=x3在区间[1,2]上,由于|f(x)-f(1)-(x-1)|=|x3-7x+6|=|(x-1)(x-3)(x+2)|=-(x-1)(x-3)(x+2),
由于-(x3-7x+6)的导数为-3x2+7,令-3x2+7=0 可得 x=,在[1,]上,3x2-7<0,-(x-1)(x-3)(x+2)为增函数,
同理可得在[,2]上,-(x-1)(x-3)(x+2)为减函数,故-(x-1)(x-3)(x+2)的最大值为 (-1)(3-)(+2)>,
故不满足“级线性逼近”,故不满足条件.
故选C.
点评:本题主要考查新定义:“T级线性逼近”的定义,不等式的性质应用,式子的变形是解题的难点,属于中档题.
解答:解:f(x)=2x+1在区间[1,2]上,由于|f(x)-f(1)-(x-1)|=|0|≤,故f(x)=2x+1在区间[1,2]上具有“级线性逼近”,故满足条件.
f(x)=x2 在区间[1,2]上,由于|f(x)-f(1)-(x-1)|=|(x-1)(x-2)|=-(x-1)(x-2)≤,
故f(x)=x2在区间[1,2]上具有“级线性逼近”,故满足条件.
f(x)=在区间[1,2]上,由于|f(x)-f(1)-(x-1)|=|+-|=-(+)≤-2=-≤,
故f(x)=2x+1在区间[1,2]上具有“级线性逼近”,故满足条件.
f(x)=x3在区间[1,2]上,由于|f(x)-f(1)-(x-1)|=|x3-7x+6|=|(x-1)(x-3)(x+2)|=-(x-1)(x-3)(x+2),
由于-(x3-7x+6)的导数为-3x2+7,令-3x2+7=0 可得 x=,在[1,]上,3x2-7<0,-(x-1)(x-3)(x+2)为增函数,
同理可得在[,2]上,-(x-1)(x-3)(x+2)为减函数,故-(x-1)(x-3)(x+2)的最大值为 (-1)(3-)(+2)>,
故不满足“级线性逼近”,故不满足条件.
故选C.
点评:本题主要考查新定义:“T级线性逼近”的定义,不等式的性质应用,式子的变形是解题的难点,属于中档题.
练习册系列答案
相关题目