题目内容
若函数f（x）=（x+a）（bx+2a）（常数a、b∈R）是偶函数，且它的值域为（-∞，4]，则该函数的解析式f（x）=分析：利用函数的定义域、值域的特点得到函数是二次函数；据函数是偶函数关于y轴对称及二次函数的对称轴公式得到方程求出a，b的值；将求出的值代入二次函数解析式求其值域验证值域是否是（-∞，4]．
解答：解：由于f（x）的定义域为R，值域为（-∞，4]，
可知b≠0，∴f（x）为二次函数，
f（x）=（x+a）（bx+2a）=bx2+（2a+ab）x+2a2．
∵f（x）为偶函数，
∴其对称轴为x=0，∴-
=0，
∴2a+ab=0，∴a=0或b=-2．
若a=0，则f（x）=bx2与值域是（-∞，4]矛盾，∴a≠0，
若b=-2，又其最大值为4，
∴
=4，∴2a2=4，
∴f（x）=-2x2+4．
故答案为-2x2+4
可知b≠0，∴f（x）为二次函数，
f（x）=（x+a）（bx+2a）=bx2+（2a+ab）x+2a2．
∵f（x）为偶函数，
∴其对称轴为x=0，∴-
| 2a+ab |
| 2b |
∴2a+ab=0，∴a=0或b=-2．
若a=0，则f（x）=bx2与值域是（-∞，4]矛盾，∴a≠0，
若b=-2，又其最大值为4，
∴
| 4b×2a2 |
| 4b |
∴f（x）=-2x2+4．
故答案为-2x2+4
点评：本题考查偶函数的图象特点、二次函数的对称轴公式、二次函数值域的求法．
练习册系列答案
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若函数 f（x）＝a x (a＞0，a≠1 ) 的部分对应值如表：
| x | －2 | 0 |
| f（x） | 0.592 | 1 |
则不等 式f－1（│x│＜0）的解集是 （）
A. {x│－1＜x＜1} B. {x│x＜－1或x＞1}
C. {x│0＜x＜1} D. {x│－1＜x＜0或0＜x＜1}
（x-a）|≤T（T为常数）成立，则称函数f（x）在[a，b]上具有“T级线性逼近”．下列函数中：
；
级线性逼近”的函数的个数为
（x-a）|≤T（T为常数）成立，则称函数f（x）在[a，b]上具有“T级线性逼近”．下列函数中：
；
级线性逼近”的函数的个数为（ ）