题目内容

已知函数f(x)=sin(
6
-2x)+2cos2x-1(x∈R)

(I)求函数f(x)的周期及单调递增区间;
(II)在△ABC中,三内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知点(A,
1
2
)
经过函数f(x)的图象,b,a,c成等差数列,且
AB
AC
=9
,求a的值.
分析:(I)利用三角函数的恒等变换化简函数f(x)的解析式为sin(2x+
π
6
),由此求得周期的值,再令2kπ-
π
2
≤2x+
π
6
≤2kπ+
π
2
,k∈z,求得x的范围,即可得到函数的单调递增区间.
(II)在△ABC中,由f(A)=sin(2A+
π
6
)=
1
2
,求得A=
π
3
.再由 b,a,c成等差数列,求得bc=18,再由余弦定理可得 a2=b2+c2-2bc•cosA 求得a的值.
解答:解:(I)∵函数f(x)=sin(
6
-2x)+2cos2x-1
=sin
6
cos2x-cos
6
sin2x+cos2x=
3
2
sin2x+
1
2
cos2x=sin(2x+
π
6
).
故函数f(x)的周期为T=
2
=π.
再令 2kπ-
π
2
≤2x+
π
6
≤2kπ+
π
2
,k∈z,求得 kπ-
π
3
≤x≤kπ+
π
6
,k∈z,故单调递增区间为[kπ-
π
3
,kπ+
π
6
],k∈z.
(II)在△ABC中,由题意可得f(A)=sin(2A+
π
6
)=
1
2
,∴2A+
π
6
=
6
,∴A=
π
3

再由 b,a,c成等差数列,可得2a=b+c,再由
AB
AC
=9
 可得 bc•cosA=9,∴bc=18.
再由余弦定理可得 a2=b2+c2-2bc•cosA=(b+c)2-3bc=4a2-3×18,解得 a2=18,
∴a=3
2
点评:题主要考查三角函数的恒等变换及化简求值,三角函数的周期性、单调性和求法,余弦定理以及等差数列的性质应用,属于中档题.
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