Question

【题目】某年级位同学参加语文和数学两门课的考试，每门课的考分从0到100分. 假如考试的结果没有两位同学的成绩是完全相同的（即至少有一门课的成绩不同）. 另外，“甲比乙好”是指同学甲的语文和数学的考分均分别高于同学乙的语文和数学的考分. 试问：当最小为何值时，必存在三位同学（设为甲、乙、丙），有甲比乙好，乙比丙好.

Answer 1

【答案】401

【解析】

建立平面直角坐标系.

若一位同学的成绩语文为分，数学为分，令其对应平面上的整点，称为“成绩点”.

于是，位同学的考试结果映射到平面上是在，范围内的个成绩点.

考虑平面上201条直线：.

若一条直线上有三个成绩点，即表示存在三位同学甲、乙、丙，有甲比乙好，乙比丙好.

显然，直线和每条至多只能有一个成绩点；直线和每条至多只能有两个成绩点.

因为，所以，当时，必有一条直线有三个成绩点.

从而，的最小值.

令集合；.

显然，，且在中不存在三个成绩点在同一条直线上.

故.从而，.