题目内容
【题目】如图,某机场建在一个海湾的半岛上,飞机跑道的长为
,且跑道所在的直线与海岸线l的夹角为
(海岸线可以看作是直线),跑道上离海岸线距离最近的点B到海岸线的距离
.D为海湾一侧海岸线
上的一点,设
(
),点D对跑道
的视角为
.
(1)将表示为x的函数;
(2)求点D的位置,使取得最大值.
【答案】(1),
.(2)在海湾一侧的海岸线
上距C点
处的D点处观看飞机跑道的视角最大.
【解析】
(1)过A分别作直线,
的垂线,垂足分别为E,F.表示出各边的长度和各角度数,分别表示出
与
,根据
,结合正切的差角公式代入化简即可得解.
(2)由(1)所得的函数表达式.化简变形后可得分母为基本不等式形式,根据基本不等式性质及
的单调性,即可求得当
取得最大值时点D的位置.
(1)过A分别作直线,
的垂线,垂足分别为E,F.如下图所示:
由题知,,
,
,
所以,
,
.
因为(
),
所以.
因为,
(如图1).
所以
,其中
.
所以,
.
(2)由(1)可知:,
.
因为,当且仅当
,
即时取等号,
所以当时,
取最小值39.
所以当时,
取最大值
.
由于在区间
上是增函数,所以当
时,
取最大值.
答:在海湾一侧的海岸线上距C点
处的D点处观看飞机跑道的视角最大.
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